モータの電気的時定数に対して十分に小さいPWM周期について

質問：ブラシ付DCモータをPWM駆動する場合に、「PWM周期をモータの電気的時定数より十分短い周期にすること」とありますが、この十分とは「モータの電気的時定数に対して何分の1」等の目安がありますか。

回答：電流リップル値を計算すると、デューティ比ｍ=0.5 の時が一番大きく、「モータの電気的時定数τ/PWM周期tpwm」と「電流リップル/平均電流」の関係は下表のようになります。

τ/tpwm	平均電流	電流リップル(p-p)	電流リップル／平均電流(%)
100	0.5×Ea/R	0.0025×Ea/R	0.5
50	0.5×Ea/R	0.005×Ea/R	1.0
25	0.5×Ea/R	0.01×Ea/R	2.0
10	0.5×Ea/R	0.025×Ea/R	5.0
5	0.5×Ea/R	0.05×Ea/R	10.0

この表から、5%以下のリップル分抑えるためには、τ/tpwmは10倍以上は必要と考えますが、必要な特性に合わせて決める必要があります。数学的には「モータの電気的時定数τに対してPWM周期tpwmが十分小さい」とは tpwm/τ≒0 と考えるため、τ/tpwm>100 程度は必要と考えます。また、わざとリップルを大きくし電流ピークの最大値を上げトルクを大きくするような使用方法もあります。

モータに電源電圧を印加した場合の等価回路図はFig-1のようになります。

Fig-1 ブラシ付DCモータ電源印加時等価回路 Ea：電源電圧、Ia：モータ電流、R：モータの等価抵抗、
L：モータの等価インダクタンス、Ec：モータの発電電圧

Fig-1 ブラシ付DCモータ電源印加時等価回路

モータ発電電圧 Ec=0V として、モータ等価回路のコイルLと抵抗Rに電圧Eaをステップ状に印加した場合の過渡電流iの関係式は、

L･(di/dt) + R･i = Ea ……(1)

となります。この微分方程式の一般解は、

i = Ea/R + A･exp(-R･t/L）　A:初期値 ……(2)

と解けるため、t=0の時にi＝i_0の初期値電流が流れているとすると、

A = i_0-Ea/R ……(3)

が求められ、

i = (Ea/R)･(1-exp(-R･t/L)) + i_0･exp(-R･t/L) ……(4)

となります。
モータ端子間をシヨートして電流回生する場合の等価回路はFig-2のようになります。

Ia：モータ電流、R：モータの等価抵抗、L：モータの等価インダクタンス、Ec：モータの発電電圧Fig-2 ブラシ付DCモータ端子間ショート時等価回路 Ia：モータ電流、R：モータの等価抵抗、
L：モータの等価インダクタンス、Ec：モータの発電電圧

Fig-2 ブラシ付DCモータ端子間ショート時等価回路

この時の過渡電流iは(2)式でEa=0Vとすればよく、

i = A･exp(-R･t/L) ……(5)

となり、ｔ＝0のときにi_0の初期値電流が流れているとすると

A = i_0 ……(6)

が求められ

i = i_0・exp(-R･t/L) ……(7)

です。
これらの式からPWM動作時のモータコイルに流れる過渡電流は、電圧印加時の電流をi_1とすると

i_1 = (Ea/R)･(1-exp(-ｍ･tpwm/τ)) + i_01･exp(-m･tpwm/τ) ……(8)

また、モータ端子間をシヨートして回生する時に流れる電流をi_2とすると

i_2 = i_02･exp(-(1-ｍ)･tpwm/τ) ……(9)

の指数関数となります。
ただし、Ea:印加電圧、R:モータの等価抵抗値、m:オンデューティ比(=0～1)、tpwm:PWM周期、τ:モータ電気的時定数(= L/R)、i_01、i_02:各初期電流値、でモータの発電電圧 Ec=0V としています。

これらの過渡電流式より、モータの時定数に対して十分短い周期のPWMとすると

-m･tpwm/τ ≒ 0 や (-(1-ｍ)･tpwm/τ) ≒ 0

となり、

exp(-m･tpwm/τ) ≒ 1 、 exp(-(1-m)･tpwm/τ) ≒ 1

となるため

i_1 ≒ i_01 、 i_2 ≒ i_02

が成り立ち、常に一定の電流が流れます。

-m･tpwm/τ ≒ 0 や -(1-ｍ)･tpwm/τ ≒ 0

が成り立つには

τ/(m･tpwm) > 100 、 τ/((1-ｍ)･tpwm) > 100

が数学的には必要になり、PWM周期tpwmで考えても

τ/tpwm > 100

程度は必要と考えます。

電流リップルについては電流安定時に、i_2の初期値がi_1となり、i_2の結果がi_1の初期値i_0になるため以下の3式が成り立ちます。

i_1 = (Ea/R)･(1-exp(-m･tpwm/τ)) + i_0･exp(-m･tpwm/τ) ……(10)
i_2 = i_1･exp(-(1-m)･tpwm/τ) ……(11)
i_2 = i_0 ……(12)

i_1とi_2を消去するように式をまとめると、i_0とm、tpwm、τの関係式が求めることができ、パラメータを入れて計算すると各電流値を求めることができます。

これらの式を使い、モータ電流が0AからPWM駆動した場合の過渡電流波形例をFig-3、Fig-4に示します。Ea=12V、R=6ΩとしてFig-3は τ/tpwm=10、tpwm=100usでmを変化させた時で、m＝0.5の時がリップルが大きいです。Fig-4はm=0.5でtpwmを変えることでてτ/tpwmを変化させた時で、τ/tpwmが大きいほうがリップルが小さいです。